傅立葉級數

傅立葉級數的意義

傅立葉級數（Fourier series）是將一個週期函數表示為一系列正弦和餘弦函數的加權和。這些正弦和餘弦函數的頻率是不同的，因此可以將傅立葉級數視為對週期函數的頻率分析。傅立葉級數在數學、物理、工程等領域都有著廣泛的應用。

傅立葉級數的公式

一般週期性信號的頻率成分，會有一個最低的頻率成分稱為基頻，其他頻率成分會是這個頻率的倍數，也可以說是相關的諧波。這些頻率成分的係數，可以使用傅立葉級數來計算。如果信號不是週期性的，但是有一個限制的區間，那我們也可以把這個區間重複延伸，看成是週期性的函數。

假設函數 $s(x)$ 定義在 $[x_0, x_0+P]$ 的區間，則其傅立葉級數為

$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(\frac{2\pi n x}{P}) + b_n\sin(\frac{2\pi n x}{P})),$$

其中

$$a_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cos(\frac{2\pi n x}{P})\ dx$$

$$b_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\sin(\frac{2\pi n x}{P})\ dx$$

$a_n$ 及 $b_n$ 為 $n$ 階諧波的係數。

傅立葉級數的應用

傅立葉級數在數學、物理、工程等領域都有著廣泛的應用。例如：

• 在數學中，傅立葉級數可用於求解微分方程、積分方程等。
• 在物理中，傅立葉級數可用於分析聲波、光波等週期性波動。
• 在工程中，傅立葉級數可用於信號處理、圖像處理等。

以下是一些具體的應用示例：

• 在音頻處理中，傅立葉級數可用於將音頻信號分解為不同頻率的成分，從而實現音頻濾波、音頻壓縮等功能。
• 在圖像處理中，傅立葉級數可用於將圖像分解為不同頻率的成分，從而實現圖像去噪、圖像增強等功能。

傅立葉級數的侷限性

傅立葉級數只適用於週期函數。對於非週期函數，可以使用傅立葉轉換來進行分析。