傅立葉轉換

傅立葉級數

設 $s(t)$ 週期為 $P$，前面提到可將其用傅立葉級數展開，

$$s(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(\frac{2\pi n t}{P}) + b_n\sin(\frac{2\pi n t}{P}))$$

其中

$$a_n = \frac{2}{P}\int_{-P/2}^{P/2} s(t)\cos(\frac{2\pi n t}{P})\ dt$$

$$b_n = \frac{2}{P}\int_{-P/2}^{P/2} s(t)\sin(\frac{2\pi n t}{P})\ dt$$

座標概念

實際上 $\cos(2\pi n t / P)$ 和 $\sin(2\pi n t / P)$ 可以視為在 $[0,P]$ 區間的正交向量，所有非零向量構成了一個基底。此時係數 $a_n$ 和 $b_n$ 可以視為函數 $s(t)$ 在該基底下的一組座標，$a_n$ 和 $b_n$ 的值也就是 $s(t)$ 在每個基底向量的投影，或者說是內積的結果。

複數形式

使用尤拉公式

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

將 $\cos$ 函數及 $\sin$ 函數轉成複數形式，可得到複數形式的傅立葉級數：

$$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j 2 \pi n f_0 t}$$

其中

$$f_0 = \frac{1}{P}, \ \ c_n = \frac{1}{P} \int_{-P/2}^{P/2} s(t) e^{-j 2 \pi n f_0 t} \, dt$$

座標概念

實際上 $\{e^{-j 2 \pi n f_0 t}, n\in Z\}$ 可以視為在 $[0,P]$ 區間的正交向量集，構成了一個基底。此時係數 $c_n$ 可以視為函數 $s(t)$ 在該基底下的一組座標，$c_n$ 的值也就是 $s(t)$ 在每個基底向量的投影，或者說是內積的結果。

傅立葉轉換

令 $s(t)$ 的週期 $P\rightarrow\infty$，此時 $s(t)$ 可以看成非週期性函數，原先傅立葉級數之間的頻率間隔 $1/P\rightarrow 0$，變成連續的頻譜，可以推導出 $s(t)$ 的傅立葉轉換對

$$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) e^{j 2 \pi f t} \, df$$

$$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

其中 $s(t)$ 可以看成是信號的時域形式，而 $S(f)$ 則是信號的頻域形式，傅立葉轉換對則是時域和頻域轉換的工具。一般把 $s(t)$ 的傅立葉轉換寫成 $\mathcal{F}\{s(t)\} = S(f)$，把 $S(f)$ 的反傅立葉轉換寫成 $\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} = s(t)$。

摺積 (Convolution)

定義 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的摺積 (convolution) 為

$$s_1(t) * s_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s_1(\tau) s_2(t - \tau) \, d\tau$$

則

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{s_1(t)*s_2(t)\} &= \mathcal{F}\{s_1(t)\}\mathcal{F}\{s_2(t)\} \\ &= S_1(f)S_2(f) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{s_1(t)s_2(t)\} &= \mathcal{F}\{s_1(t)\}*\mathcal{F}\{s_2(t)\} \\ &= S_1(f)*S_2(f) \end{align*}$$

練習 1

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