取樣定理

信號及其頻譜

我們假設要處理的信號為實函數 $s(t)$，其頻譜為 $S(f)$，而且假設 $S(f)$ 具有的最大頻率成分不超過 $f_M$，注意實函數的頻譜基本上是對稱 y 軸的，如下圖所示：

$s(t)$ 的頻譜 $S(f)$

取樣的數學式

前面提過，從類比信號到數位信號，基本上要先經過取樣以及量化的過程，其中量化是不可逆的，會引進所謂的量化雜訊。

現在來談取樣的部分。

假設信號為 $s(t)$，每隔時間 $T$ 取樣一次，取樣的結果為 $s_n = s(nT)$。在數學上，我們可以假想，取樣的方式等同於用梳子函數乘上原來的信號 $s(t)$，也就是 $\text{Ш}_T(t)s(t)$，如下圖所示：

對 $s(t)$ 函數取樣

這邊我們不用去管 $\delta$ 函數會趨近於 $\infty$ 的問題，只要管 $\delta$ 函數前的係數就好了。

取樣後的頻譜

信號取樣之後，來看一下它的傅立葉轉換，也就是取樣後的頻譜。依據前面所述的內容：

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{\text{Ш}_T(t)s(t)\} &= \mathcal{F}\{\text{Ш}_T(t)\} * \mathcal{F}\{s(t)\} \\ &= \frac{1}{T}\text{Ш}_{\frac{1}{T}}(f) * S(f) \end{align*}$$

由於 $\text{Ш}_{1/T}(f)$ 函數由一堆 $\delta$ 函數構成，而 $\delta$ 函數與任一函數做摺積時，仍為該函數，但中心則平移到 $\delta$ 函數的中心點，亦即

$$\begin{align*} \text{Ш}_{\frac{1}{T}}(f) * S(f) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f-n/T) * S(f) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} S(f-n/T) \end{align*}$$

也就是取樣後的頻譜如下（先不考慮振幅）：

$s(t)$ 取樣後的頻譜

注意，上圖假設 $f_s > 2f_M$，因此重覆的頻譜之間並沒有任何重疊。如果 $f_s < 2f_M$，則重覆的頻譜彼此之間就會交疊在一起。

信號還原

如果 $f_s > 2f_M$，則重覆的頻譜之間不會有任何重疊，那麼我們只要取中間斜線部份的那塊頻譜，當作我們要還原的信號，這樣一來，由於信號的頻譜完全相同，那麼信號也就完全相同，換句話說，理論上可以透過取樣的結果將原來的信號還原回來。取樣率 $f_s=2f_M$ 被稱為奈奎斯特取樣率，相應的頻率 $f_M$ 被稱為奈奎斯特頻率。

還原的方法，以頻域上來說，就是將取樣後的頻譜乘上一個帽子函數，等於將信號做低通濾波，也就是只保留中間斜線的頻譜區域，並將其他區域的頻率過濾掉。以數學式來看，可以表示為（這邊先不考慮振幅）：

$$(\sum_{n=-\infty}^{\infty} S(f-n/T))\ \Pi(f/f_s) = S(f)$$

另外也可以從時域來看，將上式做逆傅立葉轉換，可以得到時域信號。由於頻域相乘，時域會變成摺積，另外帽子函數的反轉換為 sinc 函數，因此時域信號可以表示為（先不考慮振幅）：

$$\begin{align*} \hat{s}(t) &= (\text{Ш}_T(t)s(t)) * \text{sinc}(f_st) \\ &= \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\delta(t-nT)\right) * \text{sinc}(f_st) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\ \text{sinc}(f_s(t-nT))\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\ \text{sinc}((t-nT)/T) \end{align*}$$

此結果如下圖所示，等於是在每個取樣點上，放置一個縮放過的 sinc 函數，這個 sinc 函數在取樣位置的值為 1，在其他取樣位置的值為 0。因為這樣的緣故，有時候也稱 sinc 函數為取樣函數。

信號還原的時域等效圖

練習 3

1. 上述的內容，假設信號的頻寬是有限的，請問這樣的假設在現實的物理世界中，是合理的假設嗎？請提出你的看法和理由。
2. 上述的推論過程中，假設取樣速度高過信號最高頻率的 2 倍。如果實際上取樣速度不到信號最高頻率的 2 倍，會發生什麼結果？