采样定理

信号及其频谱

我们假设要处理的信号为实函数 $s(t)$，其频谱为 $S(f)$，而且假设 $S(f)$ 具有的最大频率成分不超过 $f_M$，注意实函数的频谱基本上是对称 y 轴的，如下图所示：

$s(t)$ 的频谱 $S(f)$

采样的数学式

前面提过，从类比信号到数位信号，基本上要先经过采样以及量化的过程，其中量化是不可逆的，会引进所谓的量化噪声。

现在来谈采样的部分。

假设信号为 $s(t)$，每隔时间 $T$ 采样一次，采样的结果为 $s_n = s(nT)$。在数学上，我们可以假想，采样的方式等同于用梳子函数乘上原来的信号 $s(t)$，也就是 $\text{Ш}_T(t)s(t)$，如下图所示：

对 $s(t)$ 函数采样

这边我们不用去管 $\delta$ 函数会趋近于 $\infty$ 的问题，只要管 $\delta$ 函数前的系数就好了。

采样后的频谱

信号采样之后，来看一下它的傅立叶变换，也就是采样后的频谱。依据前面所述的内容：

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{\text{Ш}_T(t)s(t)\} &= \mathcal{F}\{\text{Ш}_T(t)\} * \mathcal{F}\{s(t)\} \\ &= \frac{1}{T}\text{Ш}_{\frac{1}{T}}(f) * S(f) \end{align*}$$

由于 $\text{Ш}_{1/T}(f)$ 函数由一堆 $\delta$ 函数构成，而 $\delta$ 函数与任一函数做卷积时，仍为该函数，但中心则平移到 $\delta$ 函数的中心点，亦即

$$\begin{align*} \text{Ш}_{\frac{1}{T}}(f) * S(f) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f-n/T) * S(f) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} S(f-n/T) \end{align*}$$

也就是采样后的频谱如下（先不考虑振幅）：

$s(t)$ 采样后的频谱

注意，上图假设 $f_s > 2f_M$，因此重复的频谱之间并没有任何重叠。如果 $f_s < 2f_M$，则重复的频谱彼此之间就会交叠在一起。

信号还原

如果 $f_s > 2f_M$，则重复的频谱之间不会有任何重叠，那么我们只要取中间斜线部份的那块频谱，当作我们要还原的信号，这样一来，由于信号的频谱完全相同，那么信号也就完全相同，换句话说，理论上可以透过采样的结果将原来的信号还原回来。采样率 $f_s=2f_M$ 被称为奈奎斯特采样率，相应的频率 $f_M$ 被称为奈奎斯特频率。

还原的方法，以频域上来说，就是将采样后的频谱乘上一个帽子函数，等于将信号做低通滤波，也就是只保留中间斜线的频谱区域，并将其他区域的频率过滤掉。以数学式来看，可以表示为（这边先不考虑振幅）：

$$(\sum_{n=-\infty}^{\infty} S(f-n/T))\ \Pi(f/f_s) = S(f)$$

另外也可以从时域来看，将上式做逆傅立叶变换，可以得到时域信号。由于频域相乘，时域会变成卷积，另外帽子函数的反变换为 sinc 函数，因此时域信号可以表示为（先不考虑振幅）：

$$\begin{align*} \hat{s}(t) &= (\text{Ш}_T(t)s(t)) * \text{sinc}(f_st) \\ &= \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\delta(t-nT)\right) * \text{sinc}(f_st) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\ \text{sinc}(f_s(t-nT))\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n\ \text{sinc}((t-nT)/T) \end{align*}$$

此结果如下图所示，等于是在每个采样点上，放置一个缩放过的 sinc 函数，这个 sinc 函数在采样位置的值为 1，在其他采样位置的值为 0。因为这样的缘故，有时候也称 sinc 函数为采样函数。

信号还原的时域等效图

练习 3

1. 上述的内容，假设信号的频宽是有限的，请问这样的假设在现实的物理世界中，是合理的假设吗？请提出你的看法和理由。
2. 上述的推论过程中，假设采样速度高过信号最高频率的 2 倍。如果实际上采样速度不到信号最高频率的 2 倍，会发生什么结果？