几个常用函数

rect 函数

定义 rect(t) 函数如下：

$$\text{rect}(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & \text{if } |t| = \frac{1}{2} \quad (\text{optional condition}) \\ 0, & \text{if } |t| > \frac{1}{2} \end{cases}$$

其图形如下图所示，由于形状像帽子，我们有时也将其称为帽子函数 $\Pi(t)$：

rect(t)

sinc 函数

定义 sinc(t) 函数如下：

$$\text{sinc}(t) = \begin{cases} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}, & \text{if } t \neq 0 \\ 1, & \text{if } t = 0 \end{cases}$$

其图形如下图所示：

sinc(t)

注意： $\mathcal{F}\{\Pi(t)\} = \text{sinc}(f)$， $\mathcal{F}\{\text{sinc}(t)\} = \Pi(f)$， 两者互为傅立叶变换对的关系。

$\delta$ 函数

定义 $\delta(t)$ 函数为

$$\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0}\ \frac{1}{2\epsilon}\ \text{rect}\left(\frac{t}{2\epsilon}\right)$$

这里 $\text{rect}(t)$ 是矩形函数，当 $-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ 时为 1，其他情况为 0，也可以记为 $\Pi(t)$。当 $\epsilon$ 趋近于 0 时，矩形函数的宽度也趋近于0，高度则趋近于 $\infty$，但仍保持其积分值为 1，如下图所示：

$\delta(t)$ 函数的一种表达方式

$\delta(t)$ 有许多重要的特性与应用，以下是本单元会用到的几个：

$$\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1$$

$$\mathcal{F}\{1\} = \delta(f)$$

$$\mathcal{F}\{e^{j2\pi f_0t} \} = \delta(f-f_0)$$

$$\begin{align*} f(t) * \delta(t-t_0) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) \delta(\tau - t_0) \, d\tau \\ &= f(t-t_0) \end{align*}$$

comb 函数 (梳子函数)

定义 comb 函数如下：

$$\text{comb}_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)$$

或者将其简写为 $\text{Ш}_T(t)$，图形如下：


$\text{Ш}_T(t)$ 为周期性函数，可以求出其傅立叶级数 $c_n=1/T$，故

$$\text{Ш}_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac1T\ e^{j 2 \pi nt/T}$$

进一步可以得到：

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{\text{Ш}_T(t)\} &= \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f-n/T) \\ &= \frac{1}{T}\ \text{Ш}_{\frac{1}{T}}(f) \end{align*}$$

故梳子函数的傅立叶变换仍为梳子函数，但 $\delta$ 函数之间的宽度在时域和频域成反比，高度也会有所变化，如下图所示：

$\text{Ш}_T(t)$ 的傅立叶变换

练习 2

本页的说明内容，许多地方并没有详细推导其中的过程。请使用生成式 AI 找出推导过程，并仔细检查以确认其推导无误。可以将过程复制下来，或者直接分享生成式 AI 的互动连结。