傅立叶变换

傅立叶级数

设 $s(t)$ 周期为 $P$，前面提到可将其用傅立叶级数展开，

$$s(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(\frac{2\pi n t}{P}) + b_n\sin(\frac{2\pi n t}{P}))$$

其中

$$a_n = \frac{2}{P}\int_{-P/2}^{P/2} s(t)\cos(\frac{2\pi n t}{P})\ dt$$

$$b_n = \frac{2}{P}\int_{-P/2}^{P/2} s(t)\sin(\frac{2\pi n t}{P})\ dt$$

座标概念

实际上 $\cos(2\pi n t / P)$ 和 $\sin(2\pi n t / P)$ 可以视为在 $[0,P]$ 区间的正交向量，所有非零向量构成了一个基底。此时系数 $a_n$ 和 $b_n$ 可以视为函数 $s(t)$ 在该基底下的一组座标，$a_n$ 和 $b_n$ 的值也就是 $s(t)$ 在每个基底向量的投影，或者说是内积的结果。

复数形式

使用尤拉公式

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

将 $\cos$ 函数及 $\sin$ 函数转成复数形式，可得到复数形式的傅立叶级数：

$$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j 2 \pi n f_0 t}$$

其中

$$f_0 = \frac{1}{P}, \ \ c_n = \frac{1}{P} \int_{-P/2}^{P/2} s(t) e^{-j 2 \pi n f_0 t} \, dt$$

座标概念

实际上 $\{e^{-j 2 \pi n f_0 t}, n\in Z\}$ 可以视为在 $[0,P]$ 区间的正交向量集，构成了一个基底。此时系数 $c_n$ 可以视为函数 $s(t)$ 在该基底下的一组座标，$c_n$ 的值也就是 $s(t)$ 在每个基底向量的投影，或者说是内积的结果。

傅立叶变换

令 $s(t)$ 的周期 $P\rightarrow\infty$，此时 $s(t)$ 可以看成非周期性函数，原先傅立叶级数之间的频率间隔 $1/P\rightarrow 0$，变成连续的频谱，可以推导出 $s(t)$ 的傅立叶变换对

$$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) e^{j 2 \pi f t} \, df$$

$$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$$

其中 $s(t)$ 可以看成是信号的时域形式，而 $S(f)$ 则是信号的频域形式，傅立叶变换对则是时域和频域变换的工具。一般把 $s(t)$ 的傅立叶变换写成 $\mathcal{F}\{s(t)\} = S(f)$，把 $S(f)$ 的反傅立叶变换写成 $\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} = s(t)$。

卷积 (Convolution)

定义 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的卷积 (convolution) 为

$$s_1(t) * s_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} s_1(\tau) s_2(t - \tau) \, d\tau$$

则

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{s_1(t)*s_2(t)\} &= \mathcal{F}\{s_1(t)\}\mathcal{F}\{s_2(t)\} \\ &= S_1(f)S_2(f) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{s_1(t)s_2(t)\} &= \mathcal{F}\{s_1(t)\}*\mathcal{F}\{s_2(t)\} \\ &= S_1(f)*S_2(f) \end{align*}$$

练习 1

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