尤拉公式

在单位圆的圆周上等速旋转的一个点，其角度可以看成是线性的，不妨写成 $\omega t$。根据三角函数，该点的水平座标为 $\cos(\omega t)$，而垂直座标为 $\sin(\omega t)$，因此在复平面上，该点的位置可以表示如下：

$$\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

根据尤拉公式

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

所以该点的位置也可以写成 $e^{j\omega t}$；也就是说 $e^{j\omega t}$ 代表的就是一个角速度为 $\omega$ 等速旋转的信号点。

如果我们把尤拉公式中的 $\omega$ 改成 $-\omega$，然后跟上式一起运用，做一点简单的运算，可以得到以下的公式：

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$$

$$\sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$$

换句话说，$\cos(\omega t)$ 和 $\sin(\omega t)$ 都可以看成是两个等速旋转波的合成，其中一个是 $\frac12 e^{j\omega t}$，另外一个是 $\frac12 e^{-j\omega t}$。

如果我们有办法透过采样来决定两个旋转波的速率，我们就可以决定 $\cos(\omega t)$ 和 $\sin(\omega t)$ 的角速度。