尤拉公式

在單位圓的圓周上等速旋轉的一個點，其角度可以看成是線性的，不妨寫成 $\omega t$。根據三角函數，該點的水平座標為 $\cos(\omega t)$，而垂直座標為 $\sin(\omega t)$，因此在複平面上，該點的位置可以表示如下：

$$\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

根據尤拉公式

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

所以該點的位置也可以寫成 $e^{j\omega t}$；也就是說 $e^{j\omega t}$ 代表的就是一個角速度為 $\omega$ 等速旋轉的信號點。

如果我們把尤拉公式中的 $\omega$ 改成 $-\omega$，然後跟上式一起運用，做一點簡單的運算，可以得到以下的公式：

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$$

$$\sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$$

換句話說，$\cos(\omega t)$ 和 $\sin(\omega t)$ 都可以看成是兩個等速旋轉波的合成，其中一個是 $\frac12 e^{j\omega t}$，另外一個是 $\frac12 e^{-j\omega t}$。

如果我們有辦法透過取樣來決定兩個旋轉波的速率，我們就可以決定 $\cos(\omega t)$ 和 $\sin(\omega t)$ 的角速度。